L’eleganza nella matematica

Eureka a tutti. In questo articolo parleremo dell’eleganza nella matematica, e ci soffermeremo su una famosa identità, nota come Identità di Eulero che è (quasi) da tutti considerata come la formula più bella della matematica. Eccola:

Una piccola premessa: gli argomenti che seguono non sono particolarmente difficili (dovete solo conoscere le principali funzioni trigonometriche e il concetto di derivata), ma richiedono (come ogni cosa che tratti della matematica) una certa attenzione. Quindi se vedete qualcosa che non capite, rileggetela ancora, e se proprio non ne venite a capo, lasciate un commento.
La formula che vedete, coinvolge diverse quantità molto importanti in matematica: lo 0, l’1, il pigreco, l’unità immaginaria (numeretto strano, oltre che importante, poichè elevata al quadrato da – 1), ed il numero di Nepero.

Due parole sui gradi e sui radianti

Nella vita di tutti i giorni, solitamente per la misurazione di un angolo si utilizzano quelli che chiamiamo gradi. Diciamo per esempio che un angolo retto ha un’ampiezza di 90°, o che un angolo acuto è minore di 90° e così via. Normalmente è difficile che si dica “quell’angolo misura π radianti”. Tuttavia,la nostra amata unità di misura, non è particolarmente adatta alla matematica, se volete maggiori informazioni sul perchè andate qui.

Una volta visto il perchè, bisogna imparare a convertire da gradi a radianti (e viceversa), il che non è difficile, anche se all’inizio può dare qualche noia rompere un’abitudine come l’uso dei gradi, ma dopo un po’ non dovrebbe più creare problemi. In sostanza se voi avete un angolo di θ°, per ottenere il suo valore in radianti è sufficiente fare:

Da quanto visto sopra, otteniamo anche che se θ è la misura in radianti di un angolo, allora

Facciamo un esempio: se avete un angolo di 90°,allora in radianti sarà:

E ovviamente, “rovesciando” da radianti a gradi otteniamo:

Due parole sulle secanti

Per retta secante di una curva si intende una retta che interseca la curva in due o più dei suoi punti. Questo termine deriva dal latino “secare”, per “tagliare”. (Wikipedia)

Prima di passare alle derivate (fase necessaria per capire il concetto di espansione in serie) vogliamo ricavare l’equazione della secante. Innanzitutto, bisogna ricordare che la secante è una retta, e che quindi se è un punto su di essa, allora la sua equazione sarà:

La variabile m indica il coefficiente angolare della retta che consideriamo, che possiamo definirlo come la “pendenza” della retta. Non so se vi è mai capitato di leggere (su wikipedia en o un qualunque sito in inglese che parli di ciò) un metodo per ricordare come si calcola il coefficiente angolare di una retta. Seguendo il “metodo” (e quindi chiamando il coefficiente angolare della retta slope) la formula viene data da

Il “rise” sta ad indicare la variazione dell’ordinata della retta, quando varia la sua ascissa. Detto in termini più semplici, se consideriamo un punto che abbia un’ordinata di

ed un altro che abbia un’ordinata di

otterremo

. Il “run” invece indica la variazione nell’ascissa, e quindi nel caso che consideriamo abbiamo

. Bene, ora ritorniamo alla secante. Dalla definizione che abbiamo visto, sappiamo che una secante interseca una curva in due o più punti distinti. Ma allora essendo una retta, possiamo trovarne facilmente il coefficiente angolare! Supponiamo per esempio che la secante passi per due punti

,

. Per quanto abbiamo appena visto il suo coefficiente angolare sarà:

Ammettiamo poi anche che la variazione Δx si avvicini sempre di più a 0, a cosa si avvicina il coefficiente angolare della secante? Al coefficiente angolare della tangente! Consideriamo per esempio la nota parabola di equazione y = x². Tracciamone il grafico, incluso di tangente (che poniamo nel punto x = 3) e di secante (che poniamo nei punti x = 3 e x = 5) ed otterremo questo. (la tangente è in verde e la secante in rosso). Prendiamo ora uno “scarto” tra i due punti minore, per esempio x = 3 e x = 3,5, per la tangente poniamo sempre x = 3, otterremo questo.

Questo ci permette di calcolare anche l’equazione della tangente in un punto: infatti anche la tangente è una retta, e come tale ha equazione

(di seguito scriveremo y₀ = f(x₀) per evitare confusioni). Ebbene, il coefficiente angolare di tale retta è la derivata della curva in quel punto, cioè f’(x₀). Allora sostituendo abbiamo che l’equazione della tangente è

Bene, ora che “conosciamo” il concetto di derivata, passiamo a quello di espansione in serie. Cosa si intende per espansione in serie? Innanzitutto, cosa si intende per serie? Possiamo dire che una serie è una somma, in cui compaiono potenzialmente infiniti termini. Ovviamente non possiamo scrivere tutti i termini, quindi, come scrivere una serie? Per esempio, come scriviamo la somma infinita di tutti i reciproci dei numeri naturali? (Ricordiamo che per reciproco di un numero a si intende il numero 1/a o se preferite a^-1, ovviamente, lo 0 non ha reciproco). Possiamo scriverla in due modi: il primo è quello di scrivere la somma per esteso, e per evidenziare che la somma è infinita, utilizziamo i “puntini”, cioè la scriviamo in questo modo:

. Questo metodo alla lunga può risultare pesante, oltre che occupa un sacco di spazio. Per cui possiamo ricorrere ad un’altra notazione, utilizzando la lettera greca maiuscola sigma (Σ). Introduciamo poi una variabile (i nostri termini) ed una legge che ci permetta di capire quale sia l’n-esimo termine (per esempio, nel caso della serie considerata prima, l’n-simo termine sarebbe 1/n, sempre considerando n diverso da 0 ecc.). Sotto la lettera sigma, scriviamo il limite inferiore della serie, cioè il termine da cui partire o comunque un “qualcosa” che indichi i termini che si considerano (per esempio, se volessimo indicare che l’n-simo termine è un primo, non saremmo in grado di scrivere a_n = … poichè non siamo in grado di determinare quale sia l’n-simo *, per cui scriveremo semplicemente p ∈ P, dove P è definito come l’insieme dei numeri primi). Sopra la lettera sigma si indica il limite superiore della somma, che può essere, come nel nostro caso infinito. N.B. Volendo, si può anche scrivere in maniera differente, io personalmente ho utilizzato sempre questo). Quindi la nostra serie (che si chiama serie armonica) diventerebbe:

. Ora, ancora due parole sulla serie: volendo possiamo creare quante serie vogliamo, ma fondamentalmente esistono tre tipi di serie: le serie convergenti, le serie divergenti e le serie oscillanti. Il significato di questi termini è intuitivo, ma vediamolo meglio. In sostanza, considerando le somme parziali della serie, la serie è convergente se tali somme tendono sempre più ad un valore finito l. Se tale valore è infinito la serie si dirà divergente, mentre se tale valore non esiste, la serie si dirà oscillante. Facciamo un esempio: la serie armonica che abbiamo considerato, è divergente. Ovviamente, dato che il valore n diventa sempre più grande (e quindi 1/n sempre più piccolo) tale serie diverge molto lentamente. Un’altra serie divergente molto interessante è la serie dei reciproci dei numeri primi cioè:

La divergenza di questa serie venne dimostrata (due volte) da Eulero, e una terza dimostrazione venne data da Erdős (ve ne sono ovviamente anche altre). Se volete vedere le dimostrazioni potete andare qui, oppure qui (e smanettando un po’ probabilmente ne troverete altre). Passiamo ora alle cose serie. Innanzitutto, consideriamo una funzione che sia definita nel seguente modo:

Se prendiamo la derivata prima di questa funzione, e la facciamo tendere a 0 otteniamo:

Si può dimostrare facilmente, che se consideriamo la derivata n-esima di questa funzione e la facciamo tendere a 0, otteniamo:

Sostituiamo i vari termini che abbiamo nella funzione f con quello che abbiamo appena ottenuto:

Ponendo che la funzione che consideriamo sia quella esponenziale otteniamo:

E fino a qui ci siamo. Ci servono solamente altre due espansioni di questo tipo: una è quella della funzione seno, l’altra quella della funzione coseno.

Notiamo innanzitutto che la derivata del seno (meglio, di sin x) è cos x . La derivata seconda di sin x è la derivata prima di cos x che è -sin x . La derivata terza è la derivata di – sin x, che è – cos x. La derivata quarta è nuovamente sin x e si ricomincia. Perchè tutto ciò? Semplice, perchè quando x è zero, anche sin x è 0, mentre cos x è 1. Ricapitolando il tutto otteniamo:

Ora, abbiamo bisogno dell’espansione di cos x. Innanzitutto come per sin x osserviamo le derivate: la derivata prima di cos x è – sin x, la derivata seconda è la derivata prima di – sin x, che è – cos x, e così via. Otteniamo quindi:

Molto bene, ancora un’ultima cosa: cosa succede se poniamo che in e^x x sia un numero immaginario, cioè x = it? (i è ovviamente,l’unità immaginaria). Prima di vederlo, un piccolo accenno alle potenze successive di i: se eleviamo i ad un numero multiplo di 4, otteniamo 1. Se eleviamo i ad un numero che diviso per 4 lasci un resto di 1, otteniamo sempre i. Se eleviamo i ad un numero che diviso per 4 lasci un resto di 2, otteniamo invece – 1, mentre se eleviamo i ad un numero che diviso per 4 lasci un resto di 3, otteniamo – i. Bene, ora espandiamo nuovamente e^x ponendo x = it:

Calcolando poi i valori di i come abbiamo visto prima abbiamo:

Proseguendo, possiamo notare che alcuni termini, vengono moltiplicati per i o per – i, per cui utilizzando la proprietà distributiva possiamo riscrivere:

Cosa “dice” questa formula? Inizialmente magari niente.. poi EUREKA, ci accorgiamo che:

Allora possiamo riscrivere tutto come:

Questa è quella che viene chiamata formula di Eulero. Da qui all’identità di Eulero, è un attimo: è sufficiente porre t = π, ricordare che cos π = – 1, e che sin π = 0, e inoltre che anche l’unità immaginaria moltiplicata per 0, da 0. Abbiamo allora:

Ed eccola qui la formula più “elegante” della matematica. Ma cos’è di preciso l’eleganza in matematica? E’ difficile dirlo, poichè parole che ricordano concetti astratti come eleganza (da non confondersi con l’eleganza nel senso di essere vestiti bene) o bellezza e così via sono difficili da esprimere. Qualcuno (non mi ricordo chi ) disse che la bellezza è indefinibile, eppure tutti sarebbero più o meno d’accordo sul fatto che una cosa sia bella o non lo sia. In matematica succede la stessa cosa. Paul Erdős (un matematico di origini ungheresi nato nel 1913 a Budapest e morto nel 1996 a Varsavia, la cui biografia la potete trovare nel libro “l’uomo che amava solo i numeri” di Paul Hoffman) creò, o meglio, ideò un fantomatico libro, Il Libro, nel quale venivano custodite tutte le dimostrazioni più eleganti di tutti i problemi più interessanti della matematica. Un matematico quindi, quando dimostrava qualcosa in maniera elegante (ed Erdős lo fece) aveva dato uno sguardo a questo Libro.

Facciamo un esempio: la dimostrazione dell’infinità dei primi data da Euclide. Tale dimostrazione può apparire banale, poichè la si studia nelle scuole e più o meno tutti la conoscono. Invece non è affatto così! Euclide non usa metodi pesanti per ottenere quello che vuole, usa solamente quella che potremmo chiamare una sorta di “astuzia”. Il metodo da lui usato segue il principio di non contraddizione quindi ragiona per assurdo. Rivediamola (in grassetto i punti fondamentali della dimostrazione): immaginiamo che i numeri primi siano finiti, ovviamente allora ne esiste uno che è più grande di tutti. Consideriamo ora il prodotto di tutti i numeri primi fino a questo primo, che da qui in poi chiameremo p_n. Fatto questo, aggiungiamo 1, e otteniamo un nuovo numero, che chiamiamo N che avrà questa forma:

Sappiamo che N (essendo ovviamente un numero intero, maggiore di 1 e diverso da 0) o è un numero primo, oppure lo possiamo scrivere come prodotto di primi*. Vediamo dunque:

1)N è un primo: vi è una contraddizione, poichè certamente N > p_n ed abbiamo supposto che p_n sia il più grande tra tutti i primi

2)N non è un primo: possiamo allora decomporlo come prodotto di primi. Certamente, nessuno di questi suoi fattori primi è compreso tra 2 e p_n poichè N diviso ognuno di questi primi lascia un resto di 1. Ma allora N è divisibile per qualche primo maggiore di p_n e questa è ancora una contraddizione.

Che fare dunque? N nè può essere un primo nè può non essere un primo, il che è ovviamente assurdo. Perciò la nostra ipotesi iniziale, cioè che esistono finiti numeri primi, è errata, e p_n non è il più grande di tutti, poichè di fatto, questo primo non esiste.

* Questo risultato è noto come teorema fondamentale dell’aritmetica

** In realtà, dal teorema dei numeri primi discende che l’n-simo numero è circa pari a ln(n)n (ln indica il logaritmo naturale, cioè in base e).