La sezione aurea – parte 1

La matematica al giorno d’oggi viene considerata dalla maggior parte della gente come una materia fredda, governata unicamente dalla logica, distante dalla vita reale. E’ strano però notare che quelli che invece amano la matematica non la pensano allo stesso modo. In effetti “immergendosi” non solo nello studio dei teoremi, ma anche delle dimostrazioni e ovviamente, nella storia della matematica, crolla questo stereotipo. Il lavoro del matematico viene solitamente visto in questo modo: ho davanti un problema, applico teorema su teorema fino a che non lo risolvo. Nulla di più sbagliato. Facciamo un esempio: con questo metodo posso risolvere un esercizio come per esempio calcolare un’integrale o una derivata o risolvere un’equazione, ma ottenere una dimostrazione in questo modo è molto più difficile.

Un’altra accusa ingiusta è la mancanza di libertà in matematica: le sue regole vanno seguite in maniera ferrea. Questo è giusto (ovviamente, non posso dire che una cosa è sia falsa che vera) ma da qui a dire che la matematica è una sorta di carcere logico c’è un enorme differenza. Mi spiego meglio: se vi capiterà di parlare con un matematico (e intendo un matematico vero, non uno che sa fare a mente calcoli astrusi come per esempio calcolare a mente in pochi secondi la radice quinta di un numero a 20 cifre, nè uno che a scuola va bene in matematica) vi dirà che anzi, la matematica è una tra le scienze in cui si gode di più libertà in assoluto. Un fisico o un biologo o un astronomo, sono vincolati dalla realtà, e quindi le loro teorie si basano su ciò che è reale (e quindi non ideale). Un matematico invece può immaginare un mondo ideale, per esempio dove esistono oggetti unidimensionali (le rette,i segmenti..). Come ultima cosa citiamo Galileo Galilei: “L’universo è scritto in lingua matematica”.

Premesso questo, c’è una cosa che affascina anche i non-addetti: queste sono quelle che in matematica vengono chiamate costanti, come il Pigreco. Ovviamente non tutte le costanti appassionano la gente, per esempio se io dicessi “Costante dei primi gemelli” otterrei sicuramente un effetto diverso rispetto a se dicessi “Pigreco”. La sezione aurea è una di quelle costanti più simili al Pigreco,quelle che affascinano anche i non-addetti. Durante la storia ne sono stati ammaliati musicisti, pittori, matematici e ovviamente numerologi (In effetti Pitagora sarebbe stato contento e dispiaciuto di questo numero!), e appare in tanti e svariati contesti, al punto da essere chiamata “Sezione divina“.

Vedremo più avanti anche la cosidetta “spirale aurea”, ma iniziamo prima introducendo il nostro numero: Euclide lo presenta,in quel che è stato un vero e proprio best-seller (i suoi Elementi), così: “Diciamo che un segmento è diviso in media e estrema ragione se il tutto sta alla parte come la parte sta al rimanente”. Piuttosto criptico no? Vediamo di semplificarlo: innanzitutto dobbiamo prendere un segmento che abbia una lunghezza x che suddividiamo in due grandezze,a e b. Sarà allora a + b = x. In questo caso a+b è il nostro tutto, a è la nostra parte e b è il rimanente. La frase di Euclide in tempi moderni sarebbe allora:

Ora potrete dire: “E’ ancora criptico!”, ma non vi preoccupate, sono sufficienti alcuni accorgimenti: innanzitutto riscriviamo quanto sopra così:

Noi cerchiamo la quantità che sarà la nostra incognita,allora modifichiamo ancora e scriviamo:

Se ora riscriviamo il tutto otterremo:

Da cui moltiplicando entrambi i termini per x, arriviamo all’equazione di secondo grado che ha le due soluzioni

Il rapporto tra i due segmenti a e b è necessariamente positivo, quindi la soluzione che cercavamo è
.
Questa è la celebberima sezione aurea, anche se sembra tutto meno che un numero “divino”. Poco maggiore di 1, irrazionale (non si può cioè, scriverlo come una frazione c/d , dove c e d sono due numeri interi), nulla di cui stupirsi insomma,no? No. La prima particolarità che salta all’occhio (oltre al fatto che è irrazionale ecc.) sono le potenze successive di “phi”. Se nell’equazione sostituiamo quanto abbiamo trovato e continuiamo a moltiplicare i membri per phi,otterremo:

Ma basta tutto ciò? No,è infatti non è tutto. Questa è una proprietà che può interessare un matematico, o uno a cui piace la matematica, ma per la persona media ha ben poco interesse che l’n-esima potenza di phi è uguale alla somma delle due potenze precedenti, anche se andando a spulciare ci si accorge che l’n-esimo numero di Fibonacci è uguale alla somma dei due precedenti.. ma ne parleremo nella prossima parte. Per ora limitiamoci a quello che possiamo osservare chiaramente.

C’è,in matematica,un particolare tipo di rettangolo, che viene chiamato rettangolo aureo, il motivo è chiaro: la proporzione tra i suoi lati è quella aurea. Se volete costruirne uno con riga e compasso potete dare un’occhiata qui. Ora,creiamo all’interno del rettangolo aureo un quadrato di lato pari al lato più corto del rettangolo. Otterremo un quadrato ed un nuovo rettangolo (che sarà anch’esso un rettangolo aureo). Nel nuovo rettangolo facciamo la stessa cosa (in questo caso, il lato del quadrato è pari al lato corto del nuovo rettangolo) e così via. Dopodichè tracciamo in ogni quadrato,una spirale che vada da vertice a vertice (usate un compasso, ogni volta che tracciate una spirale all’interno di un quadrato,dategli un’ampiezza pari al lato del quadrato). Se non avete capito cosa intendo,cliccate qui. La spirale che otterrete è la spirale citata prima,la spirale aurea che è un particolare tipo di spirale logaritmica.

Questo tipo di spirali sono molto famose anche tra chi non ama particolarmente la matematica, e la maggior parte della gente potrebbe definirle “belle”. Quello che è più interessante però, è che in natura ci sono molti, chiamiamoli disegni, che sembrano amare questa particolare forma, per citarne due le galassie a spirale (come la nostra Via Lattea) e il Nautilus, che è un genere di mollusco. Vedremo nella seconda parte, che anche oggetti di comune uso, come per esempio le carte di credito, presentano proporzioni “auree”. Ma per ora è tutto, nella speranza che questo primo piccolo excursus vi sia piaciuto vi dico “Alla prossima!”